Μέλαν σώμα
Για να οργανώσουμε λίγο καλύτερα το φόρουμ κρίναμε πως η καλύτερη επιλογη είναι να δημιουργήσουμε τόσες αναρτήσεις όσα τα διδασκόμενα θέματα - δλδ Μέλαν Σώμα, Φωτοηλεκτρικό φαινόμενο, Φαινόμενο Κόμπτον, Κυματοσωματιδιακός Δυισμός , Αρχή της Αβεβαιότητας - και τούτη εδω θα είναι για το μέλαν σώμα. Και την εγκαινιάζω κλείνοντας μια συζήτηση με τον κ. Δημήτρη Βλάχο η οποία αρχισε απο την ανάρτηση ''υποδοχής'' κατα κάποιο τρόπο που ηταν αφιερωμένη στον Μάξ Πλάνκ.
Ο ΔΒ λοιπον εξέφρασε ισχυρή αντίρρηση στο κατα πόσον μπορουμε να αποκαλούμε το φωτεινό κβάντο σωματίδιο κ.λπ. Στο βαθμό που μπορουν να συζητηθουν εδω μερικά πολυ τεχνικά ζητήματα η απάντηση μου είναι η εξης. Κατ´ αρχάς σωστα επισημαίνετε κ. ΔΒ οτι για το φωτόνιο- για λόγους διαισθητικά ευνόητους- δεν μπορουμε να ορίσουμε αυστηρά την εννοια της θέσης άρα ούτε και τελεστή θέσης οπότε η παραδοσιακή μαθηματική απόδειξη της αρχής της αβεβαιότητας( η οποία βασίζεται στην μη μεταθετικότητα των τελεστών θέσης και ορμής) δεν ισχύει εδω , τουλάχιστον οχι με τον ίδιο ακριβώς τρόπο όπως για τα σωματίδια ύλης(πχ το ηλεκτρόνιο).
Ας πουμε λοιπόν αμέσως οτι η κβαντομηχανική του φωτονίου είναι πράγματι ασυγκριτα δυσκολότερη απο την ΚΜκη του ηλεκτρονίου και γί αυτο ελάχιστα τη συζητούμε οχι μόνο στο πλαίσιο ενός σχολικού μαθήματος αλλα και ενός πανεπιστημιακού επίσης. Διότι το φωτόνιο είναι το σωματίδιο φορέας του ΗΜκού πεδίου και προκύπτει ως αποτέλεσμα της κβάντωσης αυτού του πεδίου. Η θεωρία που προκύπτει απο την κβάντωση αυτή είναι η περίφημη QED( Quantum Electro Dynamics ) και η οικοδόμηση της πήρε περίπου 25 χρόνια μετα την κβαντομηχανική των υλικών σωματιδίων την οποία μαθαίνουμε στο πανεπιστήμιο ή στο Λύκειο.
Ας μην απογοητευόμαστε όμως. Στο στοιχειώδες επίπεδο στο οποίοι κινούμαστε εδω , μια χαλαρή κατανόηση του φωτονίου ως σωματιδιου και κύματος μαζί είναι αρκετη για το είδος των φαινομένων με τα οποία καταπιανόμαστε. Αντιλαμβανόμαστε δλδ το φωτόνιο σαν ένα σωματίδιο με ενέργεια Ε=hf και ορμή p=h/λ το οποίο ομως διατηρει και την κυματική του φύση ταυτόχρονα ως ΗΜκού κύματος. Μονο που αυτό θα πρέπει να ερμηνευτει πιθανοκρατικά δλδ ως κύμα πιθανότητας.(Στην πραγματικότητα αυτό που μόλις είπαμε δεν είναι αυστηρά σωστο. Αν ομως επρόκειτο να πούμε το αυστηρά σωστο μάλλον θα φεύγατε απο...τρόμο για το είδος των μαθηματικών εννοιών που απαιτούνται!!!)
Συμπέρασμα: Η απλοϊκή εικόνα του φωτονίου όπως την παρουσιάζουμε στο βιβλίο μας - μην παραλείποντας να τονίσουμε και τα λεπτα σημεία της - είναι υπεραρκετη για τις ανάγκες ενός σχολικου μαθήματος και δεν συνιστουμε στους συναδέλφους να πελαγοδρομούν πανω σε ζητήματα που ειναι πολυ απαιτητικά για να απαντηθουν με πληρότητα και σαφήνεια. Τούς συνιστώ ομως να διαβάσουν την &2.10 (σ.81) του βιβλίου μου ΚΜκή Λυκείου , με τίτλο: Το φωτεινό κβάντο δεν ''ξέχασε''οτι είναι ταυτόχρονα και ενα ΗΜκό κύμα. Εννοιολογικά ερωτήματα και άλλες απορίες για το φωτοηλεκτρικό φαινόμενο.
Εξαιρετική η πρωτοβουλία σας μετά τα δύο βιβλία της κβαντομηχανικής λυκείου που αναδεικνύουν τη σπουδαιότητα αυτού του διδακτικού αντικειμένου με απλό τρόπο ώστε να γίνει κατανοητό από διδάσκοντες και διδασκόμενους. Συμφωνώ με το ότι το forum είναι χρήσιμο να παραμείνει στην αξιοποίηση του πολύτιμου υλικού των δύο αυτών βιβλίων και να μη διολισθήσει σε θέματα που λόγω της δυσκολίας τους δεν διδάσκονται ούτε σε Πανεπιστημιακό προπτυχιακό επίπεδο! Ξεκινώντας από την θερμική ακτινοβολία του μέλανος σώματος - το παγκόσμιο φως - θα ήθελα να ρωτήσω για τη σχέση της με τη θερμότητα που περιλαμβάνεται στη διδακτέα ύλη της θετικής ομάδας προσανατολισμού της Β' Λυκείου. Στο βιβλίο σας ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι κύριε Τραχανά αναφέρετε : "η θερμική ακτινοβολία των των πυρακτωμένων σωμάτων γίνεται αισθητή όχι μόνο ως θερμότητα αλλά και ως πλούσιο ορατό φως" . Το σχολικό βιβλίο αναφέρει ότι " η ενέργεια που μεταφέρεται λόγω διαφοράς θερμοκρασίας δύο σωμάτων ονομάζεται θερμότητα" χωρίς να κάνει οποιαδήποτε αναφορά στο ότι " το είδος αυτό της μεταφερόμενης ενέργειας υπάρχει ακριβώς επειδή το σώμα και το περιβάλλον κάνουν χρήση του ατομικού χαρακτήρα της δομής τους" (Η ΦΥΣΙΚΗ ΣΗΜΕΡΑ Π.Ε.Κ.). Επιπλέον σύμφωνα με τον 2ο θερμοδυναμικό Νόμο η θερμότητα μεταφέρεται αυθόρμητα από το "θερμό" στο "ψυχρό" και όχι αντίστροφα. . Ευχαριστώ.
ΑπάντησηΔιαγραφήΑς αρχίσω με την τελευταία παρατήρηση σας κ. Βουμβάκη. Οτι δλδ το σχολικό βιβλίο μιλάει για μεταφορα θερμότητας απο το ζεστό στο ψυχρό σώμα χωρις να κανει αναφορά στην ατομική δομή της ύλης όπου οι έννοιες ''θερμότητα'' και ''θερμοκρασία'' αποκτουν ενα συγκεκριμένο φυσικό περεχόμενο. Είναι αλήθεια όμως οτι αυτές οι έννοιες μπορουν να οριστούν και στο πλαίσιο της κλασικής θερμοδυναμικής και πράγματι ετσι είχαν οριστεί πριν την ανακάλυψη της στατιστικής μηχανικής και της κινητικής θεωρίας των αερίων.
ΔιαγραφήΗ δική μου προτίμηση είναι να μην ακολουθω την ιστορική πορεία- απλώς να την αναφέρω - και να εισάγω εξ αρχής τη θερμοκρασία ως μέτρο της μέσης κινητικής ενέργειας των μορίων ενος αερίου όπου τα πράγματα είναι απλουστερα. Και να καταλαβαίνω επίσης την εξίσωση των θερμοκρασιών δυο σωματων σε επαφή ως αποτέλεσμα των συγκρούσεων ανάμεσα στα μόρια τους στα σημεία επαφής , οπότε τα πιο ''ζωηρά''μεταφερουν κινητική ενέργεια στα πιό ''ψόφια'' εως ότου επέλθει εξίσωση των θερμοκρασιων των δύο σωμάτων. Κι αυτο είναι συνεπές με το δευτερο θερμοδυναμικό αξίωμα που προβλέπει αύξηση της εντροπίας δλδ της αταξίας του συστήματος. Διότι ,βεβαίως, η κατασταση του να ειναι τα μόρια των δύο σωμάτων εξίσου ''ζωηρά'' είναι κατάσταση μεγαλύτερης αταξίας απο το να είναι τα πιο ζωηρά στη μιά μεριά και τα πιο ψόφια στην άλλη( Οπως ακριβως σε μια βιβλιοθήκη ειναι κατάσταση μεγαλύτερης τάξης να είναι ολα τα λογοτεχνικα βιβλία απο τη μία πλευρα της και ολα τα επιστημονικά απο την άλλη παρά να είναι όλα ανακατεμένα ομοιόμορφα παντού). Και για να κλείσουμε: Η θερμική ακτινοβολία των σωμάτων είναι ακριβώς το αποτέλεσμα μια παρόμοιας διαδικασίας οπου τα δυο ''σώματα'' που είναι σε επαφή και έρχονται σε θερμική ισορροπία ειναι η ύλη και το φως που παραγεται μεσα της και τελικά εκπέμπεται εχοντας ''νταλαβεριστεί'' μαζί της ωστε να αποκτήσουν την ίδια θερμοκρασία. Τα φωτόνια που τελικά εκπέμπονται εχουν μια κατανομή στις διαφορες συχνότητες η οποία προσδιορίζεται μονοσήμαντα απο τη μεγιστοποίηση της αταξίας τους(δλδ της εντροπίας τους) ακριβως όπως συμβαίνει και με την κατανομή Μαξγουελ-Μπολτσμαν για τα μόρια ενός ιδανικού αερίου. Και για αυτο το λόγο ειναι ανεξάρτητη απο το υλικό του εκπέμποντος σώματος.
Αυτό το σχόλιο αφαιρέθηκε από τον συντάκτη.
ΑπάντησηΔιαγραφήΟ κ. Στέφανος Τραχανάς , σχολιάζοντας την φράση του σχολικού βιβλίου «Η κβαντική θεωρία προβλέπει κβάντωση κι άλλων μεγεθών όπως η ορμή και η στροφορμή» , γράφει: «Απολύτως λάθος: Η ορμή (όπως και η θέση) έχει πάντα συνεχές φάσμα στην κβαντομηχανική ακόμα και όταν το σωματίδιο εκτελεί δέσμια κίνηση όπως π.χ. το ηλεκτρόνιο στη θεμελιώδη κατάσταση του ατόμου του υδρογόνου. Μοναδική εξαίρεση αποτελεί το απειρόβαθο πηγάδι δυναμικού που είναι μια μη ρεαλιστική εξιδανίκευση χωρίς ακριβές αντίκρισμα στον πραγματικό κόσμο, αφού περιορίζει το σωματίδιο σ’ ένα αυστηρά καθορισμένο διάστημα του χώρου, απειρίζοντας το δυναμικό στα άκρα»
ΑπάντησηΔιαγραφήΡώτησα λοιπόν την ΑΙ του Google «Ο τελεστής της ορμής ενός κβαντικού συστήματος έχει πάντα συνεχές φάσμα;»
Η απάντηση: «Όχι, ο τελεστής της ορμής δεν έχει πάντα συνεχές φάσμα. Η φύση του φάσματος εξαρτάται άμεσα από τη γεωμετρία του χώρου και τις συνοριακές συνθήκες:
Άπειρος Χώρος: Σε ένα ελεύθερο σωματίδιο που κινείται στον άπειρο χώρο, η ορμή μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή, οπότε το φάσμα είναι όντως συνεχές.
Περιορισμένος Χώρος: Όταν το σωματίδιο είναι περιορισμένο σε έναν κλειστό χώρο (π.χ. ένα σωματίδιο σε κουτί με περιοδικές συνοριακές συνθήκες ή σε έναν δακτύλιο), η κυματοσυνάρτηση πρέπει να "κουμπώνει" στα άκρα. Αυτό οδηγεί στην κβάντωση της ορμής, δηλαδή το φάσμα γίνεται διακριτό.»
Στη συνέχεια ρώτησα: «Υπάρχουν ρεαλιστικά φυσικά συστήματα με διακριτό φάσμα ορμής;»
Η απάντηση: «Ναι, υπάρχουν αρκετά πραγματικά συστήματα όπου η ορμή εμφανίζεται κβαντισμένη (διακριτή), κυρίως λόγω του περιορισμού των σωματιδίων σε κλειστές ή περιοδικές δομές.
Ακολουθούν μερικά χαρακτηριστικά παραδείγματα:
Αρωματικά Μόρια (π.χ. Βενζόλιο) Σε κυκλικά μόρια όπως το βενζόλιο τα ηλεκτρόνια θεωρούνται συχνά ως "σωματίδια σε δακτύλιο". Λόγω της κυκλικής δομής του μορίου, η ορμή των ηλεκτρονίων κατά μήκος του δακτυλίου παίρνει μόνο συγκεκριμένες διακριτές τιμές, γεγονός που εξηγεί τη σταθερότητα και τις οπτικές ιδιότητες αυτών των ενώσεων.
2. Νανοσωλήνες Άνθρακα (Carbon Nanotubes) Οι νανοσωλήνες είναι ουσιαστικά φύλλα γραφενίου τυλιγμένα σε κύλινδρο. Η ορμή των ηλεκτρονίων στην περιφερειακή διεύθυνση είναι κβαντισμένη λόγω της συνθήκης περιοδικότητας γύρω από τον κύλινδρο. Αυτή η κβάντωση καθορίζει αν ο νανοσωλήνας θα συμπεριφέρεται ως μέταλλο ή ως ημιαγωγός.
3. Κρύσταλλοι και "Κρυσταλλική Ορμή" (Crystal Momentum) Στα στερεά σώματα, τα άτομα είναι διατεταγμένα σε ένα περιοδικό πλέγμα. Αν και η πραγματική ορμή ενός ηλεκτρονίου μπορεί να φαίνεται συνεχής, η λεγόμενη κρυσταλλική ορμή (ή ορμή Bloch) ορίζεται πάνω σε μια διακριτή δομή στο χώρο των κυματανυσμάτων (πρώτη ζώνη Brillouin). Φωνόνια: Οι ταλαντώσεις του πλέγματος (φωνόνια) έχουν επίσης διακριτές καταστάσεις ορμής που αντιστοιχούν στους κανονικούς τρόπους δόνησης του κρυστάλλου.
4. Κβαντικές Τελείες (Quantum Dots) Αυτές είναι τεχνητές δομές νανοκλίμακας που περιορίζουν τα ηλεκτρόνια και στις τρεις διαστάσεις (σαν "τεχνητά άτομα"). Ο ισχυρός περιορισμός σε έναν τόσο μικρό όγκο αναγκάζει όλες τις δυναμικές ποσότητες, συμπεριλαμβανομένης της ορμής, να έχουν διακριτό φάσμα.
Σύνοψη: Το φάσμα της ορμής γίνεται διακριτό κάθε φορά που ένα σωματίδιο "αισθάνεται" τα όρια του χώρου του ή την περιοδικότητα του περιβάλλοντός του.
Το προηγούμενο κείμενο διορθωμένο από το CHATGPT :
ΔιαγραφήΟ τελεστής της ορμής δεν έχει πάντα συνεχές φάσμα. Η φύση του φάσματος εξαρτάται από τη γεωμετρία του χώρου, τις συνοριακές συνθήκες και, μαθηματικά, από το αν ο τελεστής είναι αυτοσυζυγής στο κατάλληλο domain.
• Άπειρος χώρος: Για ένα ελεύθερο σωματίδιο στον άπειρο χώρο, η ορμή μπορεί να πάρει οποιαδήποτε πραγματική τιμή, άρα το φάσμα είναι συνεχές.
• Περιοδικές ή κυκλικές γεωμετρίες: Σε συστήματα όπως ένα σωματίδιο σε δακτύλιο ή σε κουτί με περιοδικές συνοριακές συνθήκες, η απαίτηση περιοδικότητας της κυματοσυνάρτησης οδηγεί σε κβάντωση του κυματαριθμού και επομένως της ορμής. Εκεί το φάσμα της ορμής είναι διακριτό.
• Συστήματα με σκληρά τοιχώματα (π.χ. άπειρο πηγάδι): Εδώ δεν είναι πάντα σωστό να λέμε ότι «η ορμή κβαντώνεται» με την ίδια έννοια. Συνήθως ο τελεστής ορμής δεν είναι αυτοσυζυγής με τις συνήθεις συνοριακές συνθήκες, ενώ διακριτό φάσμα έχει κυρίως ο Hamiltonian
Παραδείγματα:
1. Αρωματικά μόρια (π.χ. βενζόλιο): Τα π-ηλεκτρόνια μοντελοποιούνται συχνά ως σωματίδια σε δακτύλιο, οπότε η γωνιακή ή εφαπτομενική ορμή είναι κβαντισμένη.
2. Νανοσωλήνες άνθρακα: Η περιφερειακή συνιστώσα της ορμής των ηλεκτρονίων είναι διακριτή λόγω περιοδικότητας γύρω από τον κύλινδρο.
3. Κρύσταλλοι και φωνόνια: Σε πεπεραστούς κρυστάλλους με περιοδικές συνοριακές συνθήκες, οι επιτρεπτές τιμές του κυματαριθμού (κρυσταλλική ορμή ή φωνονικό wavevector) είναι διακριτές. Στο θερμοδυναμικό όριο, όμως, αντιμετωπίζονται ως σχεδόν συνεχείς μέσα στην πρώτη ζώνη Brillouin.
4. Κβαντικές τελείες: Ο ισχυρός περιορισμός οδηγεί κυρίως σε διακριτά ενεργειακά επίπεδα• η ίδια η ορμή δεν είναι πάντα το καταλληλότερο παρατηρήσιμο για να περιγραφεί ως «διακριτή» χωρίς περαιτέρω διευκρίνιση.
Συμπέρασμα:
Η περιοδικότητα ή η κλειστή γεωμετρία μπορούν να οδηγήσουν σε διακριτό φάσμα ορμής. Όμως ο απλός χωρικός περιορισμός δεν αρκεί πάντα για να σημαίνει ότι «η ορμή κβαντώνεται» με αυστηρή έννοια• συχνά αυτό που κβαντώνεται καθαρά είναι η ενέργεια
Όλα τα παραδείγματα που σας δινει η ΤΝ κ. Βλάχο είναι μη ρεαλιστικες εξιδανικεύσεις παρόμοιες με το απειρόβαθο πηγάδι δυναμικού. Και ολα τα μόρια στα οποία αναφερεστε -συζευγμένοι υδρογονάνθρακες με ανοικτή ή κλειστή αλυσίδα - μόνο κατα απόλυτη εξιδανίκευση μπορούν να προσεγγιστούν ως ενα γραμμικό ή κυκλικό σωληνάκι στο οποίο ο περιορισμος της κίνησης στο εσωτερικό του προυποθέτει απειρο δυναμικο εξω απο την περιοχή του σωληνιδίου. Μια συνθήκη η οποία προφανώς δεν υφίσταται στα πραγματικά μόρια. Και για να τελειώνουμε: Η ορμη των σωματιδίων του πραγματικού κόσμου οχι μόνο εκείνων που κινούνται ελεύθερα αλλα και των δέσμιων ηλεκτρονίων στα άτομα στα μόρια ή στα πεπερασμένα στερεά , των πρωτονίων και των νετρονίων στούς πυρήνες- έχει πάντα συνεχές φάσμα. ΠΑΝΤΑ! Και η διακριτοποίηση που επιχειρούμε μερικές φορές στη φυσική του στερεού , επιβάλλοντας ειδικές συνοριακές συνθήκες, είναι για καθαρά τεχνικούς λόγους - ετσι ορίζουμε πιο εύκολα την λεγόμενη πυκνότητα καταστάσεων ( η οποία όμως ορίζεται εξίσου καλά και κατ' ευθείαν στο συνεχές φάσμα) - και δεν εχει ουδεμία ουσιαστική φυσική σημασία.
ΔιαγραφήΚαταλήγοντας θα σας παρακαλούσα όμως να μην ξεχνάτε οτι ο δικός μου σκοπός εδώ δεν είναι να κάνω επιδειξη πολυμάθειας , ούτε εχω το χρόνο να επεκτείνομαι σε εξειδικευμένες συζήτησεις που σίγουρα δεν ειναι αυτές που ενδιαφέρουν τον συνάδελφο εκπαιδευτικό για τον οποίο δημιουργήθηκε τουτο το blog.
Λάθη μπορει βεβαίως να κάνω και θα χαιρόμουν πολύ να μου επισημανθούν είτε απο τη φυσική είτε απο την τεχνητή νοημοσύνη. Αρκει αυτο να μην γίνει αυτοσκοπός. Ακόμα περισσότερο όταν οι παρατηρήσεις μου πάνω στο σχολικό βιβλίο πιστεύω οτι προσφέρονται για ενδιαφέροντα λόγο και αντίλογο στον οποίο όλοι οι συνάδελφοι μπορούν να συμμετάσχουν.
Κύριε Τραχανά το ύφος του απαντητικού σχολίου σας και η δίκη προθέσεων που κάνετε δηλώνουν ότι οι αναγνώστες της κριτικής σας στο σχολικό βιβλίο πρέπει να δεχτούν όσα γράφετε χωρίς αντίλογο. Αυτό που λέτε δογματικά χωρίς αιτιολόγηση « Και για να τελειώνουμε: Η ορμή των σωματιδίων του πραγματικού κόσμου όχι μόνο εκείνων που κινούνται ελεύθερα αλλά και των δέσμιων ηλεκτρονίων στα άτομα στα μόρια ή στα πεπερασμένα στερεά , των πρωτονίων και των νετρονίων στους πυρήνες- έχει πάντα συνεχές φάσμα. ΠΑΝΤΑ!» δηλαδή ανεξάρτητα από την γεωμετρία του πεδίου ορισμού των κυματοσυναρτήσεων και των συνοριακών τους συνθηκών.
ΔιαγραφήΘα πρέπει να επισημανθεί ότι σε αυτό που θεωρείτε ως μοναδική εξαίρεση δηλαδή το απειρόβαθο πηγάδι δυναμικού, το πρόβλημα δεν είναι το μη ρεαλιστικόν του (καθώς μπορεί να θεωρηθεί ότι περιγράφει κβαντικό σωματίδιο σε κουτί με αδιαπέραστα τοιχώματα). Είναι κάτι σοβαρότερο. Ο κανονικός τελεστής για την ορμή παρ’ ότι είναι συμμετρικός δεν είναι αυτοσυζυγής ούτε μπορεί να επεκταθεί σε κάποιον αυτοσυζυγή που να σέβεται τις συνοριακές συνθήκες για τα αδιαπέραστα τοιχώματα. Έτσι θα πρέπει να βρεθεί κάποιος άλλος αυτοσυζυγής τελεστής για την ορμή για να μπορεί αυτή να θεωρηθεί παρατηρήσιμο μέγεθος. Υπάρχουν στην βιβλιογραφία σχετικές προτάσεις όπου το φάσμα προκύπτει διακριτό.
Ιδού και μια μη ..δογματική απάντηση κ. Βλάχο! Στην κβαντομηχανική υπάρχει κάτι που λέγεται ''αναπαράσταση θέσης'' και ''αναπαράσταση ορμής''. Και με απλά λόγια μας λέει οτι μπορούμε ΠΑΝΤΑ να περιγράψουμε την κατάσταση του σωματιδίου είτε μεσω μιας κυματοσυνάρτησης θέσης ψ(x) είτε μέσω μιας κυματοσυνάρτησης ορμής φ(p) όπου βέβαια το p είναι μια συνεχής μεταβλητή όπως το x. Κι αυτο διαβάζουμε όλοι και σε όλα τα βιβλία της διεθνούς και της εγχώριας βιβλιογραφίας προπτυχιακής και μεταπτυχιακής. Η ορμή όπως και η θέση εχουν συνεχές φάσμα. Τωρα αν εσείς θεωρείτε οτι το δυναμικό έξω απο τον δακτύλιο του βενζολίου ειναι παντού άπειρο και το κυκλικό σωληνάκι ειναι ενα αυστηρά ρεαλιστικο μοντέλο για το μόριο αυτό , μάλλον θα δυσκολευτείτε να πείσετε εστω και εναν φυσικο οτι έχετε δικηο. Και θα μου επιτρέψετε να σταματήσω τη συζήτηση εδω εκτός αν μου αποδείξετε οτι υπάρχουν πραγματικά φυσικά συστήματα για τα οποία το δυναμικό είναι παντού άπειρο εκτος απο ενα υποσύνολο του χώρου - ενα ευθύγραμμο τμήμα, μια περιφέρεια κύκλου , το εσωτερικό μιας σφαίρας ή ενός κύβου κ.λπ - ώστε μόνο μέσα εκει να μπορεί να κινείται το σωματίδιο και πουθενά αλλού. Οι μαθηματικές εξιδανικεύσεις κ. Βλάχο είναι χρήσιμες για θεωρητικές διερευνήσεις τύπου μαθηματικής φυσικής αρκει να γνωρίζουμε οτι περι αυτού πρόκειται και να μην εκλαμβάνουμε τα μαθηματικά συμπεράσματα που προκύπτουν απο αυτές ως ακριβείς αλήθειες για τον πραγματικό κόσμο. Όσο για τα περί αυτοσυζυγων τελεστών και συνοριακων συνθηκων , σας παραπέμπω στο πρωτο κεφάλαιο του βιβλίου μου των μερικων διαφορικών εξισώσεων όπου σίγουρα θα βρείτε το είδος των καθαρα μαθηματικών διερευνήσεων που θα ικανοποιήσουν και τον μαθηματικό σας εαυτό.
ΔιαγραφήΚύριε Τραχανά Αυτά τα κάτι που γράφετε συνδέονται με μετασχηματισμό Φουριέ. Ρωτάω λοιπόν: Ο μετασχηματισμός Φουριέ μιας συνεχούς συνάρτησης είναι πάντα συνεχής συνάρτηση; Έχω την εντύπωση ότι ο μετασχηματισμός Φουριέ περιοδικής συνάρτησης οδηγεί σε σειρά Φουριέ
ΔιαγραφήΕπίσης με παραπέμψατε σε βιβλίο σας για ΜΔΕ. Είδα εκεί ότι ταυτίζετε τις έννοιες του ερμιτιανού (συμμετρικού) και του αυτοσυζυγή τελεστή. Αυτό για απειροδιάστατους χώρους Χίλμπερτ (όπως είναι ο χώρος των κυματοσυναρτήσεων) είναι λάθος. Με την ευκαιρία, χώρος Χίλμπερτ δεν είναι απλά ένας απειροδιάστατος γραμμικός χώρος με εσωτερικό γινόμενο όπως γράφετε στην Κβαντομηχανική ΙΙ.
Όσον αφορά το ρεαλιστικόν των παραδειγμάτων. Η Φυσική είναι γεμάτη με προσεγγιστικά μοντέλα που χρησιμοποιούνται με βασικό κριτήριο το πόσο καλά προσεγγίζουν τα πραγματικά φαινόμενα. Επίσης τα παραδείγματα που δίνει η ΤΝ προφανώς δεν τα έχει επινοήσει αλλά τα έχει βρει ψάχνοντας στην διεθνή σοβαρή βιβλιογραφία.
α)Μια περιοδική κυματοσυνάρτηση ψ(x) δεν μηδενίζεται στο άπειρο οπότε δεν αντιπροσωπεύει μια φυσικά πραγματοποιήσιμη κατάσταση κανενός φυσικού συστήματος. Δεν αποτελεί,επομένως, αντιπαράδειγμα στο ΘΕΩΡΗΜΑ οτι η ορμή εχει συνεχές φάσμα. Το οποίο είναι και μαθηματικά προφανές απο το γεγονός ότι ο τελεστής της ορμής ( -i* hbar* τελεστής παραγώγισης) εχει πάντα την ίδια μορφή ανεξάρτητα απο το εκάστοτε δυναμικό. Όλα αυτά είναι κοινός τόπος σε όλα τα συγγράμματα κβαντομηχανικης μεταξυ αυτών και του μεγάλου Ιάπωνα φυσικού J.J. Sakurai, Modern QM (βλ πχ σ.41).
Διαγραφήβ) Τα μαθηματικά ''αμαρτήματα'' που μου καταλογίζονται - λάθος ορισμός του χώρου Hilbert, ταύτιση των εννοιών του ερμιτιανού και του αυτοσυζυγούς τελεστή - τα έχουν διαπράξει κατ' εξακολούθηση σχεδόν οι πάντες με πρώτους απ' όλους τους P. Dirac και R. Feynman στα κλασικά βιβλία τους Principles of QM και Lectures on Physics Vol. III, σελίδες 40 και 20-3 αντίστοιχα. Και μάλλον έχουν το λόγο τους. Ξέρουν να διακρίνουν το σημαντικό σε έναν ορισμό και να εστιάζουν σε αυτό αντι να εκτρέπουν την προσοχή σε μαθηματικές ''ψιλοβελονιές'' που δεν εμφανίζονται ποτέ στα πραγματικά φυσικά προβλήματα και ασχολούνται με αυτές μόνο όσοι κάνουν καθαρή Μαθηματική Φυσική.. Και μας θυμίζουν έτσι οι Μεγάλοι ότι η θεμελιώδης φυσική δεν είναι πληροφορίες αλλα δομημένη γνώση με κύριο χαρακτηριστικό τη διάκριση ποιοτήτων: Να εχουμε διαρκώς επίγνωση το τι είναι σημαντικό και τι δευτερεύον ή ασήμαντο.
Μια απάντηση με την βοήθεια της ΤΝ
ΔιαγραφήΗ άποψη ότι η διάκριση μεταξύ συμμετρικών και αυτοσυζυγών τελεστών αποτελεί «μαθηματική λεπτομέρεια χωρίς φυσική σημασία» δεν αντέχει σε σοβαρό έλεγχο. Στην κβαντική μηχανική, η απλή συμμετρία δεν αρκεί για να ορίσει ούτε ένα γνήσιο παρατηρήσιμο ούτε έναν καλά ορισμένο γεννήτορα χρονικής εξέλιξης. Η αυτοσυζυγία δεν είναι τεχνική πολυτέλεια• είναι η μαθηματική μορφή της φυσικής απαίτησης για μονοσήμαντη, μοναδιαία και πλήρως καθορισμένη δυναμική. Ακριβώς εκεί εγγράφονται οι οριακές συνθήκες, οι σημειακές αλληλεπιδράσεις, και οι διαφορετικές δυνατές υλοποιήσεις του ίδιου τυπικού διαφορικού τελεστή. Όποιος υποβαθμίζει αυτό το σημείο, στην πραγματικότητα συγχέει τον τυπικό συμβολισμό με τον πλήρη φυσικό ορισμό του συστήματος. Στην κβαντική θεωρία, όμως, ο «τύπος» ενός τελεστή δεν αρκεί. Ο τελεστής μαζί με το πεδίο ορισμού του είναι το φυσικό αντικείμενο. Επομένως, η ταύτιση συμμετρικού και αυτοσυζυγούς δεν είναι αθώα συντόμευση• είναι εννοιολογικό σφάλμα που θολώνει ακριβώς το σημείο όπου η μαθηματική αυστηρότητα και η φυσική ερμηνεία συμπίπτουν.
Το ίδιο ακριβώς μοτίβο επανεμφανίζεται όταν ο χώρος Hilbert ορίζεται απλώς ως «ένας απειροδιάστατος γραμμικός χώρος με εσωτερικό γινόμενο». Εκείνο που κάνει έναν χώρο πραγματικά Hilbert είναι η πληρότητα: το ότι οι ακολουθίες καταστάσεων που συγκλίνουν με τον φυσικό τρόπο του χώρου έχουν πράγματι το όριό τους μέσα στον ίδιο τον χώρο. Χωρίς αυτήν, δεν έχεις το σωστό λειτουργικό περιβάλλον για προβολές, για φασματική θεωρία, για τη θεωρία συζυγών τελεστών, δηλαδή για όλη τη δομή πάνω στην οποία στηρίζεται η κβαντική μηχανική. Με άλλα λόγια, όπως ο συμμετρικός τελεστής δεν είναι κατ’ ανάγκην αυτοσυζυγής, έτσι και ένας γραμμικός χώρος με εσωτερικό γινόμενο δεν είναι κατ’ ανάγκην Hilbert (Το να λέει κανείς ότι η πληρότητα του χώρου Hilbert είναι μια από φυσική άποψη ασήμαντη μαθηματική λεπτομέρεια, είναι σαν να λέει ότι επειδή όλες οι μετρήσεις δίνουν ρητούς αριθμούς, οι άρρητοι (η πληρότητα των πραγματικών αριθμών) είναι άνευ φυσικής σημασίας). Σε όλες αυτές τις περιπτώσεις αφαιρείται ακριβώς το συστατικό που μετατρέπει ένα σκίτσο σε λειτουργική έννοια.
Συνέχεια από το προηγούμενο: Η επίκληση, του Dirac ή του Feynman δεν διασώζει τίποτε· απλώς μετατρέπει την ασάφεια σε επίκληση αυθεντίας. Οι μεγάλοι φυσικοί της ιδρυτικής περιόδου έγραφαν συχνά με ευρετική, προ-αυστηρή γλώσσα, επειδή η φυσική διαίσθηση προπορευόταν της μεταγενέστερης λειτουργικής θεμελίωσης. Αυτό είναι ιστορικά κατανοητό. Δεν σημαίνει όμως ότι οι ατέλειες της πρώτης γενιάς πρέπει να διατηρούνται σήμερα ως δήθεν πρότυπα ακρίβειας. Το αντίθετο: το ότι σήμερα γνωρίζουμε ακριβώς τη σημασία της αυτοσυζυγίας, του πεδίου ορισμού και της πληρότητας σημαίνει ότι η επανάληψη αυτών των παλιών ασαφειών δεν είναι “πίστη στην παράδοση”, αλλά άρνηση της ωρίμανσης της θεωρίας. Με απλά λόγια: εδώ δεν έχουμε μεμονωμένα ολισθήματα. Έχουμε σταθερό μοτίβο — κρατιέται το σύμβολο, αφαιρείται η δομή, και η απώλεια του ορισμού βαφτίζεται “φυσική”
ΔιαγραφήΌσον αφορά το φάσμα της ορμής. Η ίδια σύγχυση στον ισχυρισμό ότι η κβαντική ορμή «έχει πάντα συνεχές φάσμα» επειδή υπάρχει «αναπαράσταση ορμής» με κυματοσυνάρτηση φ(p), όπου το p εμφανίζεται ως συνεχής μεταβλητή. Εδώ συγχέεται η αναπαράσταση με το φάσμα του τελεστή. Το ότι σε μια συγκεκριμένη περίπτωση —όπως το σωματίδιο στην άπειρη ευθεία— χρησιμοποιούμε μια συνεχή παράμετρο p δεν σημαίνει ότι κάθε τελεστής ορμής σε κάθε κβαντικό σύστημα έχει συνεχές φάσμα. Το φάσμα δεν καθορίζεται από το γράμμα που γράφουμε στη συνάρτηση, αλλά από τον ίδιο τον τελεστή όπως ορίζεται στον συγκεκριμένο χώρο Hilbert, με τη γεωμετρία του χώρου διαμόρφωσης, το πεδίο ορισμού και τις οριακές συνθήκες. Γι’ αυτό και το σωματίδιο σε κύκλο ή δακτύλιο έχει απολύτως νόμιμο τελεστή ορμής με διακριτό φάσμα. Άρα η καθολική διατύπωση «η ορμή έχει πάντα συνεχές φάσμα» είναι απλώς ψευδής.
ΥΓ Το ΘΕΩΡΗΜΑ ότι «η ορμή έχει (πάντα) συνεχές φάσμα (ανεξάρτητα από την τοπολογία του χώρου στον οποίο μπορεί να κινείται το κβαντικό σωματίδιο) σε ποιο βιβλίο ή paper μπορεί να το συναντήσει κανείς;
Κύριε Βλάχο συγνώμη για την παρέμβαση αλλά ο τίτλος του ιστοτόπου είναι "χώρος διαλόγου για τη διδασκαλία της κβαντομηχανικής στο λύκειο" . Μπορείτε παρακαλούμε να μας αναφέρετε τρόπους και μεθόδους για να γίνει κατανοητή με όσο το δυνατό πληρέστερο τρόπο η κβαντομηχανική σε μαθητές λυκείου, ώστε να διευκολύνετε το έργο των διδασκόντων ; Ευχαριστώ.
ΔιαγραφήΚαλημέρα. Αν δεν κάνω λάθος, το μέλαν σώμα είναι μια εξιδανίκευση, όπως λέμε ας πούμε λείο δάπεδο. Ερώτηση από μαθήτρια: η μαύρη τρύπα είναι μέλαν σώμα ή είναι και αυτή μια προσέγγιση του μέλανος σώματος;
ΑπάντησηΔιαγραφήΚαι με την ευκαιρία της ερώτησης αυτής, με ρώτησε και κάτι ακόμα (το διατυπώνω όπως μου το είπε): η ενέργεια που ελευθερώνεται κατά την έκρηξη ενός supernova σε άλλον γαλαξία, μπορεί να φτάσει σε εμάς και αν ναι, μπορεί να μας βλάψει;
Είπα στο παιδί ότι θα ρωτήσω και θα της απαντήσω. Κάθε βοήθεια ευπρόσδεκτη.
Η ακτινοβολία του μέλανος σώματος ,αγαπητή συνάδελφε,είναι πράγματι μια εξιδανίκευση μπορούμε όμως να την πλησιάσουμε όσο κοντά θέλουμε με το τέχνασμα της κοιλότητας. Εχουμε τον μαθηματικό τύπο που την περιγράφει( τύπος του Πλάνκ) και έχουμε ελλεγξει την ορθότητα του με αναρίθμητα πειράματα σε μια μεγάλη περιοχή θερμοκρασιών και συχνοτήτων ή μηκών κύματος.
ΔιαγραφήΜε την ακτινοβολία μιας μαυρης τρύπας η κατάσταση είναι πολύ διαφορετική. Τόσο η θεωρητική περιγραφή της απο τον Στήβεν Χώκινγκ όσο και η εμπειρική επιβεβαίωση της είναι ακόμα πολύ μακρυά απο το στάδιο μιάς οριστικής απάντησης. Είμαστε ακόμα στη σφαίρα μιας εύλογης- και συναρπαστικής συνάμα- εικασίας. Πείτε λοιπόν στη μαθήτρια σας οτι αυτό είναι ενα απο τα θεμελιώδη προβλήματα της φυσικής που η δική της γενιά θα επιλύσει!
Τέλος , για τις εκρήξεις σουπερνόβα έξω απο το γαλαξία μας αυτές - όπως και εκείνες μεσα στον δικό μας - μπορουν να έχουν λάμψη οση και ενας ολόκληρος γαλαξίας σίγουρα όμως δεν κινδυνεύουμε απο αυτούς αφου δεν πάθαμε τίποτα απο παρόμοιες εκρήξεις μέσα στον δικό μας.
Σας ευχαριστώ θερμά για την άμεση απάντηση, αλλά και για όλη τη βοήθεια που απλόχερα μας προσφέρετε.
Διαγραφή