Μέλαν σώµα. Το πρόβληµα της κλασικής ϕυσικής

Η κλασική φυσική δεν αποτυγχάνει απλά να αναπαράγει με ακρίβεια την ακτινοβολία του μέλανος σώματος που μετράμε πειραματικά, αλλά καταλήγει στο τελείως αφύσικο αποτέλεσμα ότι κάθε σώμα γύρω μας θα πρέπει να εκπέμπει ακτινοβολία άπειρης έντασης! Το φιάσκο της κλασικής φυσικής είναι εμφανές στο παρακάτω σχήμα.

Η κλασική πρόβλεψη \(J_{cl} = 2\pi f^2 kT/c^2\) των Rayleigh-Jeans συμφωνεί με τις πειραματικές τιμές για μικρές μόνο συχνότητες ενώ σε υψηλότερες συχνότητες όχι απλά διαφωνεί αλλά προβλέπει την «εκτόξευση» της φασματικής έντασης \(J\). Αυτό με τη σειρά του σημαίνει και απειρισμό της συνολικής έντασης \(I\) που εκπέμπει κάθε σώμα γύρω μας.

Για να καταλάβουμε που κάνει λάθος η κλασική φυσική θα χρειαστεί να υπολογίσουμε την ενέργεια που αποκτά το ΗΜ πεδίο όταν βρίσκεται σε θερμική επαφή με ένα σώμα θερμοκρασίας \(T\). Ο υπολογισμός αυτός έχει αρκετές ομοιότητες με εκείνον της ενέργειας που αποκτά ένα μονοατομικό αέριο όταν βρίσκεται σε θερμική επαφή με ένα σώμα. Και στις δύο περιπτώσεις οι νόμοι της θερμοδυναμικής επιβάλουν στο σώμα να μοιραστεί «δίκαια» τη θερμική του ενέργεια με το σύστημα με το οποίο βρίσκεται σε επαφή, είτε αυτό είναι το ατομικό αέριο, είτε είναι το ΗΜ πεδίο.¹Αρχικά θα κάνουμε τον υπολογισμό της θερμικής ενέργειας για το ατομικό αέριο και στη συνέχεια θα τον συγκρίνουμε με εκείνον του ΗΜ πεδίου.

Όταν ένα μονοατομικό αέριο βρεθεί σε επαφή με ένα σώμα θερμοκρασίας \(T\) η θερμική ενέργεια του σώματος θα κατανεμηθεί σε όλους τους διαθέσιμους βαθμούς ελευθερίας έως ότου το αέριο και το σώμα να αποκτήσουν την ίδια θερμοκρασία. Η μέση θερμική ενέργεια κάθε ατόμου τότε θα είναι \(3kT/2\), καθώς η ενέργεια κάθε ατόμου έχει τρεις τετραγωνικούς όρους \( E = m v_x^2/2 + m v_y^2/2 + m v_z^2/2 \) και, σύμφωνα με το θεώρημα ισοκατανομής της ενέργειας, ο καθένας συνεισφέρει μέση ενέργεια \(kT/2\). Τελικά, η συνολική ενέργεια ενός αερίου \(N_a\) ατόμων θα είναι \(E_{\textrm{ολ}} = 3N_akT/2\).

Ας επιστρέψουμε τώρα στην περίπτωση του ΗΜ πεδίου. Όταν ένα σώμα θερμοκρασίας \(T\) βρίσκεται σε θερμική επαφή με το ΗΜ πεδίο γύρω του η θερμοδυναμική επιβάλει, όπως και πριν, η θερμική ενέργεια να μοιραστεί «δίκαια» σε όλους τους διαθέσιμους βαθμούς ελευθερίας. Στην περίπτωση του ΗΜ πεδίου οι βαθμοί ελευθερίας είναι τα αρμονικά ΗΜ κύματα και κάθε ένα από αυτά είναι ισοδύναμο με έναν ανεξάρτητο αρμονικό ταλαντωτή συχνότητας \(f = c / \lambda\). Επειδή, τώρα, στην ενέργεια ενός αρμονικού ταλαντωτή υπάρχουν δύο τετραγωνικοί όροι,² η θερμική ενέργεια που θα αποκτήσει κάθε ταλαντωτής του ΗΜ πεδίου θα είναι \(kT\). Έτσι, η συνολική ενέργεια που θα αποκτήσει το ΗΜ πεδίο όταν έρθει σε θερμική ισορροπία με ένα σώμα θερμοκρασίας \(T\) θα είναι \(E_{\textrm{ολ}} =N kT\) όπου \(N\) το πλήθος όλων των διαφορετικών τρόπων ταλάντωσης του πεδίου.

Κάποιος ίσως βιαστεί να πει ότι το αποτέλεσμα δεν φαίνεται να έχει κάποιο πρόβλημα, καθώς σχεδόν ταυτίζεται με αυτό της περίπτωσης του ατομικού αερίου. Όμως, στην περίπτωση του ΗΜ πεδίου το πλήθος \(N\) των διαφορετικών τρόπων ταλάντωσης είναι άπειρο αφού άπειρες είναι και οι δυνατές συχνότητες \(f\) των ΗΜ ταλαντώσεων. Μάλιστα τα πράγματα είναι ακόμα χειρότερα αφού για κάθε μια από τις άπειρες συχνότητες \(f\) υπάρχουν και άπειρες δυνατές κατευθύνσεις διάδοσης του κύματος (πάνω, κάτω, βόρεια, νοτιοδυτικά, ...) και επιπλέον για κάθε τέτοιο κύμα υπάρχουν δύο δυνατές πολώσεις. Αφού λοιπόν το πλήθος των ταλαντώσεων \(N\) είναι άπειρο και κάθε τέτοια ταλάντωση έχει πεπερασμένη ενέργεια \(kT\) η ενέργεια του ΗΜ πεδίου είναι καταδικασμένη να αποκλίνει. Το ίδιο θα κάνει και η ένταση του ΗΜ πεδίου \(I\) που μας απασχολεί, καθώς αυτή είναι ανάλογη της πυκνότητας ενέργειας του πεδίου (ενέργεια ανά μονάδα όγκου) \(E_{\textrm{ολ}}/V\).

Τώρα που καταλάβαμε που οφείλεται το πρόβλημα του κλασικού μοντέλου ίσως μπορούμε να σκεφτούμε και πως θα μπορούσε αυτό να διορθωθεί. Υπάρχει άραγε κάποιος τρόπος η συνολική ενέργεια των άπειρων το πλήθος ΗΜ ταλαντωτών να συγκλίνει;

¹ Ο μηχανισμός με τον οποίο ανταλλάσσει ενέργεια το σώμα με το ατομικό αέριο είναι τελείως διαφορετικός από τον αντίστοιχο για το ΗΜ πεδίο. Η θερμοδυναμική όμως δεν νοιάζεται για το πως θα γίνει η μοιρασιά παρά μόνο να εξασφαλίσει ότι η θερμική ενέργεια κατανέμεται «δίκαια» σε όλους τους βαθμούς ελευθερίας του συστήματος.

² Σε ένα μηχανικό ταλαντωτή οι δύο τετραγωνικοί όροι της ενέργειας είναι οι γνωστοί \(E=m v^2 / 2 +\kappa x^2 /2\). Στις ηλεκτρομαγνητικές ταλαντώσεις οι αντίστοιχοι δύο τετραγωνικοί όροι προέρχονται από τις συνεισφορές του ηλεκτρικού και του μαγνητικού πεδίου.