Μέλαν σώµα. Η κβαντική λύση

Τα προβλήματα που αντιμετώπιζε η κλασική φυσική με την ακτινοβολία μέλανος σώματος λύθηκαν ως δια μαγείας όταν ο Planck έκανε την (τελείως τρελή) υπόθεση ότι το ενεργειακό φάσμα των ταλαντωτών του ΗΜ πεδίου¹ δεν είναι συνεχές αλλά παίρνει διακριτές τιμές που διαφέρουν μεταξύ τους κατά \(hf\). Ποιος είναι άραγε ο μηχανισμός με τον οποίο η κβάντωση των ενεργειών καταφέρνει να λύσει τα προβλήματα του κλασικού μοντέλου; 

 Συγκρίνοντας το κλασικό αποτέλεσμα των Rayleigh-Jeans για τη φασματική ένταση \(J\) με τις πειραματικές τιμές βλέπουμε ότι στις χαμηλές συχνότητες η κλασική πρόβλεψη είναι σε πολύ καλή συμφωνία με το πείραμα. Φαίνεται λοιπόν πως η υπόθεση της κλασικής φυσικής ότι κάθε ΗΜ ταλάντωση επιδοτείται με θερμική ενέργεια \(k_B T\) είναι σωστή για ΗΜ ταλαντώσεις μικρής συχνότητας (\(hf < k_B T \)). Για μεγαλύτερες όμως συχνότητες οι πειραματικές τιμές της \(J\) είναι πολύ μικρότερες από την κλασική πρόβλεψη. Είναι λες και η «επιδοματική πολιτική» του κόσμου μας δεν επιτρέπει στους ταλαντωτές υψηλότερης συχνότητας να πάρουν το μερίδιο θερμικής ενέργειας \(k_B T\) που προβλέπει η κλασική φυσική. 

Όπως μάλλον μαντέψατε υπεύθυνη για την περίεργη αυτή «επιδοματική πολιτική» θερμικής ενέργειας είναι η κβάντωση της ενέργειας των ΗΜ ταλαντωτών. Ο μηχανισμός με τον οποίο η κβάντωση ρυθμίζει τη θερμική ενέργεια κάθε ταλαντωτή ανάλογα με τη συχνότητα του μπορεί να γίνει αντιληπτός με τη βοήθεια του παρακάτω σχήματος. 

Στο διάγραμμα φαίνεται το κβαντισμένο ενεργειακό φάσμα δύο ταλαντωτών συχνοτήτων \(f_1\) και \(f_2\) και η θερμική ενέργεια \(k_B T\). Επειδή για τον ταλαντωτή με συχνότητα \(f_1\) είναι \(hf_1 < k_B T \) η θερμική του διέγερση είναι δυνατή, οπότε αυτός θα αποκτήσει μέση θερμική ενέργεια \(\approx k_B T\). Για τον ταλαντωτή με συχνότητα \(f_2\), όμως, είναι \(hf_2 > k_B T \) οπότε η πιθανότητα ο ταλαντωτής αυτός να διεγερθεί θερμικά είναι μικρή και αντίστοιχα μικρή θα είναι και η μέση θερμική του ενέργεια.  

Όπως φαίνεται από το σχήμα, η θερμική ενέργεια \(k_B T\) επαρκεί για να διεγείρει τις συχνότητες \(f\) για τις οποίες η απαιτούμενη ενέργεια διέγερσης είναι μικρή \(hf < k_B T\). Έτσι, όλες αυτές οι συχνότητες θα αποκτήσουν θερμική ενέργεια \(\approx k_B T\) όπως προβλέπει και η κλασική φυσική. Όμως, η πιθανότητα να διεγερθούν οι ταλαντωτές με μεγάλη ενέργεια διέγερσης \(hf > k_B T\) είναι πολύ μικρότερη, οπότε η μέση θερμική τους ενέργεια θα είναι μικρότερη από \(k_B T\). Μάλιστα, στο όριο \(hf \gg k_B T\) η θερμική τους ενέργεια θα τείνει στο μηδέν. 

Άρα, η κβάντωση της ενέργειας πράγματι καταφέρνει να περιορίσει τη θερμική ενέργεια των ταλαντωτών μεγάλης συχνότητας \(hf > k_B T\) και να λύσει το πρόβλημα του απειρισμού της κλασικής πρόβλεψης. Οι ταλαντωτές παραμένουν άπειροι αλλά δεν παίρνουν όλοι θερμική ενέργεια. Μάλιστα, ο ακριβής υπολογισμός της φασματικής έντασης του ΗΜ πεδίου όχι απλά δεν αποκλίνει αλλά συμφωνεί πολύ καλά με τα πειραματικά δεδομένα! Μια τεράστια επιτυχία της κβάντωσης που από την πρώτη της εμφάνιση έδειξε ότι ήρθε για να μείνει.

¹ Η αλήθεια είναι ότι όταν εισήγαγε την κβάντωση ο Planck δεν είχε συνειδητοποιήσει ότι οι κβαντισμένες αυτές ενεργειακές στάθμες αφορούσαν τις ταλαντώσεις του ΗΜ πεδίου.