Μέλαν σώμα. Ο νόμος των Rayleigh-Jeans

Σε προηγούμενη ανάρτηση χρησιμοποιήσαμε απλά ποιοτικά επιχειρήματα για να δείξουμε ότι η πρόβλεψη της κλασικής φυσικής για την ένταση ακτινοβολίας \(I\) του μέλανος σώματος είναι καταδικασμένη να απειρίζεται.  Για να εξάγουμε όμως την εξάρτηση της φασματικής έντασης από τη συχνότητα \(J_{cl} \sim f^2\) θα χρειαστεί να κάνουμε αναλυτικά την εξαγωγή του νόμου των Rayleigh-Jeans.

Έχουμε ήδη σκιαγραφήσει ποιοτικά την πορεία του υπολογισμού της φασματικής έντασης.  Τα βήματα που θα πρέπει να κάνουμε για την εξαγωγή του αποτελέσματος είναι τα ακόλουθα. Βήμα 1ο: Εύρεση όλων των τρόπων ταλάντωσης του ΗΜ πεδίου. Βήμα 2ο: Καταμέτρηση των τρόπων ταλάντωσης \(N(f)\) με συχνότητες μικρότερες από \(f\) ώστε να εξάγουμε από αυτό τον αριθμό των ταλαντώσεων ανά συχνότητα \(dN/df\). Βήμα 3ο: Υπολογισμός της μέσης θερμικής ενέργειας του ΗΜ πεδίου ανά μονάδα συχνότητας και ανά μονάδα όγκου \(du/df = dN/df \cdot kT/V\) και από αυτήν τη ζητούμενη φασματική ένταση \(J_{cl} \sim c \cdot du/df\).  

Βήμα 1ο: Εύρεση των τρόπων ταλάντωση του ΗΜ πεδίου
Θα ξεκινήσουμε βρίσκοντας τους δυνατούς τρόπους ταλάντωσης του ΗΜ πεδίου στο εσωτερικό ενός αγώγιμου κουτιού διαστάσεων \(L \times L \times L \).  Παίρνοντας στη συνέχεια το όριο \(L\to \infty\) θα βρούμε τις δυνατές ταλαντώσεις του πεδίου σε όλο τον χώρο.  Τα ΗΜ κύματα μέσα σε ένα τέτοιο κουτί ανακλώνται στις έδρες του, οπότε οι κανονικοί τρόποι ταλάντωσης του πεδίου στο εσωτερικό του κουτιού θα είναι στάσιμα κύματα όπως αυτά που φαίνονται στο παρακάτω σχήμα. 

Στιγμιότυπα της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου των πέντε πρώτων στάσιμων κυμάτων που δημιουργούνται μέσα σε ένα αγώγιμο κουτί. Κάθε τέτοιος τρόπος ταλάντωσης χαρακτηρίζεται από ένα αριθμό \(n=1, 2, \ldots\) ο οποίος καθορίζει το μήκος κύματος \(\lambda_n = 2L/n\), τον κυματαριθμό \(k_n= 2\pi / \lambda_n = n \pi/L\) και την αντίστοιχη συχνότητα \(f= n c /2L\).

Οι τρόποι ταλάντωσης του πεδίου στις τρεις διαστάσεις προκύπτουν συνδυάζοντας τις μονοδιάστατες ταλαντώσεις του σχήματος στις κατεύθυνσεις \(x\), \(y\) και \(z\).  Οι ταλαντώσεις τώρα θα χαρακτηρίζονται από μια τριάδα φυσικών αριθμών \(n_x, n_y, n_z\) με αντίστοιχους κυματαριθμούς \(k_x = \frac{\pi}{L} n_x\), \(k_y = \frac{\pi}{L} n_y\), \(k_z = \frac{\pi}{L} n_z\) και γωνιακή συχνότητα \(\omega = c k\), όπου \(k=\sqrt{k_x^2 +k_y^2 +k_z^2}\) ενώ τα \(n_x,\,n_y,\,n_z\) θα παίρνουν τιμές \(1, 2, \ldots\). 

Βήμα 2ο: Καταμέτρηση των τρόπων ταλάντωσης του ΗΜ πεδίου
Για να βρούμε πόσο συνεισφέρει κάθε συχνότητα \(f\) της ΗΜ ακτινοβολίας στη συνολική ΗΜ ενέργεια θα πρέπει να καταμετρήσουμε πόσοι τρόποι ταλάντωσης \(dN\) υπάρχουν στη γειτονιά αυτής της συχνότητας μεταξύ των \(f\) και \(f+df\).  Ο πιο εύκολος τρόπος για να το πετύχουμε είναι να κάνουμε την καταμέτρηση στον χώρο των κυματαριθμών \(k\) με τη βοήθεια του σχήματος που ακολουθεί.
 

Κάθε δυνατή ταλάντωση του ΗΜ πεδίου περιγράφεται από την τριάδα κυματαριθμών \(k_x\), \(k_y\), \(k_z\) η οποία αντιστοιχεί σε ένα σημείο στον χώρο των \(k\).  Επειδή είναι \(k_a= n_a \pi/L\), όπου \(n_a =1, 2, \ldots\) και \(a=x,\, y,\, z\), τα σημεία αυτά σχηματίζουν ένα κυβικό πλέγμα με πυκνότητα ένα σημείο ανά όγκο \(\delta \Omega_k= (\pi/L)^3\). Στο όριο \(L \to \infty\) η απόσταση των σημείων αυτών τείνει στο μηδέν. 

Όπως φαίνεται στο σχήμα, οι ταλαντώσεις με συχνότητα μικρότερη από \(f\) αντιστοιχούν στα σημεία του πρώτου ογδοημορίου του χώρου των \(k\) που περικλείονται μέσα σε μια σφαίρα ακτίνας \(k=2\pi f/c\) και όγκου \(\Omega_k = 1/8 \cdot 4/3 \cdot \pi k^3.\)  Το πλήθος αυτών των σημείων θα ισούται με τον λόγο του όγκου αυτού \(\Omega_k \) προς τον όγκο \(\delta \Omega_k = (\pi/L)^3\) που αντιστοιχεί σε κάθε σημείο. Έτσι, ο αριθμός των ταλαντώσεων του ΗΜ πεδίου με συχνότητα μικρότερη από \(f=c k /(2\pi)\) θα είναι \(N(k) =2 \cdot \Omega_k / \delta \Omega_k = L^3 k^3/(3 \pi^2) = L^3 8 \pi f^3 /(3 c^3) =N(f) \), όπου πολλαπλασιάσαμε με τον παράγοντα \(2\) για να λάβουμε υπ' όψη μας και τις δύο δυνατές πολώσεις των ΗΜ κυμάτων.  Για να βρούμε τώρα τον αριθμό ταλαντώσεων \(dN\) ανά διάστημα συχνότητας \(df\) γύρω από τη συχνότητα \(f\) δεν έχουμε παρά να παραγωγίσουμε το \(N(f)\) οπότε βρίσκουμε \( dN/df = 8\pi L^3 f^2 / c^3 \). 
 

Βήμα 3ο: Υπολογισμός της μέσης θερμικής ενέργειας του ΗΜ πεδίου 
Τώρα που βρήκαμε τον αριθμό των τρόπων ταλάντωσης του ΗΜ πεδίου ανά μονάδα συχνότητας \(dN/df\) είμαστε έτοιμοι να βρούμε και τη μέση θερμική ενέργεια ανά μονάδα συχνότητας.  Όπως είδαμε σε προηγούμενη ανάρτηση, όταν το ΗΜ πεδίο αλληλεπιδρά με ένα σώμα θερμοκρασίας \(T\), σύμφωνα με την κλασική φυσική, κάθε ταλάντωση του πεδίου θα αποκτήσει μέση θερμική ενέργεια \(kT\), οπότε η ενέργεια του πεδίου ανά μονάδα συχνότητας θα είναι \( dU/df = kT \cdot dN/df = kT \cdot 8\pi L^3 f^2 / c^3 \). Η ζητούμενη φασματική ένταση \(J_{cl}\) είναι ανάλογη του γινομένου της ενέργειας ανά μονάδα συχνότητας και ανά μονάδα όγκου \(du/df = 1/V \cdot dU/df\) επί την ταχύτητα \(c\) με την οποία διαδίδεται η ακτινοβολία \(J_{cl} \sim c \cdot du/df \). Το τελικό αποτέλεσμα είναι \(J_{cl}= 2 \pi f^2/c^2 \cdot kT\) όπου ο παράγοντας \(2\pi\) προκύπτει αν λάβουμε υπόψη μας ότι η ακτινοβολία αυτή μοιράζεται σε όλη τη στερεά γωνία και στη συνέχεια θεωρήσουμε τη συνεισφορά κάθε κατεύθυνσης που διέρχεται από μια στοιχειώδη επιφάνεια μέσα στο πεδίο.

Αφού αυτή είναι η ενέργεια ανά μονάδα χρόνου ανά μονάδα επιφάνειας και ανά μονάδα συχνότητας που διέρχεται από οποιαδήποτε στοιχειώδη επιφάνεια μέσα στο πεδίο τόση θα πρέπει να εκπέμπεται και από την επιφάνεια του θερμού σώματος που βρίσκεται σε επαφή με το πεδίο.  Το αποτέλεσμα μας απλά περιγράφει ποσοτικά αυτό που μας ήταν ήδη ποιοτικά προφανές. Ότι δηλαδή, αφού κάθε ταλάντωση του ΗΜ πεδίου έχει μέση θερμική ενέργεια \(kT\) και οι τρόποι ταλάντωσης είναι άπειροι, άπειρη θα είναι και η πρόβλεψη της κλασικής φυσικής για τη μέση θερμική ενέργεια.

Τώρα που καταλάβαμε λίγο καλύτερα τον νόμο των Rayleigh-Jeans γίνεται πιο διαυγές και το κβαντικό αποτέλεσμα του Planck.  Συγκρίνοντας τις σχέσεις \(J_{cl}= 2 \pi f^2/c^2 \cdot kT\) και \(J_{Planck}= 2 \pi f^2/c^2 \cdot hf/(e^{hf/kT} -1) \) βλέπουμε ότι ο όρος \(2 \pi f^2/c^2 \) που «μετράει» το πλήθος των ταλαντώσεων με συχνότητα \(f\) είναι και στις δύο κοινός. Οι δύο νόμοι διαφωνούν όμως στη μέση θερμική ενέργεια που αποκτά κάθε ταλάντωση. Μένει λοιπόν να δούμε πως η κβάντωση αναγκάζει κάθε ταλαντωτή συχνότητας \(f\) να αποκτήσει μέση θερμική ενέργεια \(hf/(e^{hf/kT} -1)\) αντί για την \(kT\) της κλασικής πρόβλεψης.