Μέλαν σώμα. Ο νόμος του Planck

  Σε προηγούμενη ανάρτηση υπολογίσαμε τη φασματική ένταση ακτινοβολίας του μέλανος σώματος που προβλέπει η κλασική φυσική \(J_{cl}\!=\! 2 \pi f^2/c^2 \cdot kT\) (νόμος των Rayleigh-Jeans). Η διαδικασία της εξαγωγής μας έδειξε ότι ο πρώτος όρος \(2 \pi f^2/c^2\) απλά «μετράει» το πλήθος των ΗΜ κυμάτων με συχνότητα στη «γειτονιά» της \(f\), ενώ ο δεύτερος όρος \(k_BT\) δεν είναι παρά η μέση θερμική ενέργεια που προβλέπει η κλασική φυσική για κάθε τέτοιο κύμα. Συγκρίνοντας με το αντίστοιχο αποτέλεσμα του Planck \(J\!=\! 2 \pi f^2/c^2\) \(\cdot hf/(e^{hf/kT} -1) \) βλέπουμε ότι ο πρώτος όρος εμφανίζεται και εδώ απαράλλαχτος, όπως το περιμέναμε, όμως τώρα τη θέση της μέσης θερμικής ενέργειας \(k_BT\) την έχει πάρει η \(E_{th} = hf/(e^{hf/kT} -1) \). Ποια είναι άραγε η καινούργια φυσική που πρέπει να εισαγάγουμε ώστε η θερμική ενέργεια αντί για \(k_BT\) να γίνει \(E_{th}\); 

Θα δείξουμε ότι για να πάρουμε τη σωστή μέση θερμική ενέργεια \(E_{th}\) θα πρέπει να θεωρήσουμε ότι η ενέργεια κάθε κύματος συχνότητας \(f\) είναι κβαντισμένη με τιμές¹ \(E_n= hf (n +1/2)\). Για να βρούμε τη μέση θερμική ενέργεια ενός τέτοιου κβαντισμένου ταλαντωτή ξεκινάμε υπολογίζοντας τη συνάρτηση επιμερισμού \(Z \!=\!\! \sum e^{-\beta E_n} \) \(\!=\!\! \sum_{n \geq 0} e^{-\beta h f (n+ 1/2)} \) \(\!=\! e^{-\beta h f/2}/(1\!-\! e^{-\beta h f}) \), όπου² \(\beta = 1/k_B T\). Τώρα μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη σχέση \( U \!\!=\! - \frac{1}{Z_{1D}} \frac{\partial Z_{1D}}{\partial \beta} \), οπότε τελικά βρίσκουμε \(U \!\!=\! h f \left(n_B(\beta h f)\right.\) \(\left.+\frac{1}{2}\right) \), όπου \(n_B(x) = \frac{1}{(e^x -1)}\) ο παράγοντας κατάληψης του Bose. Επειδή όμως μας ενδιαφέρει μόνο η ενέργεια που οφείλεται στις θερμικές διεγέρσεις θα αγνοήσουμε την ενέργεια του μηδενικού σημείου \(hf/2\), οπότε καταλήγουμε στην \(E_{th}= hf n_B(\beta hf) \) \(= hf/(e^{hf/kT} -1) \) η οποία είναι ακριβώς η σχέση που θέλαμε να αποδείξουμε. Πράγματι λοιπόν, η απαραίτητη προϋπόθεση για να βρούμε τη σωστή μέση θερμική ενέργεια \(E_{th}\), και κατά συνέπεια και τη σωστή φασματική ένταση \(J\), είναι η κβάντωση της ενέργειας των ΗΜ κυμάτων.

Διερεύνηση της \(\pmb{E_{th}}\) και οι συνέπειες της

 Στο γράφημα φαίνεται η εξάρτηση της θερμικής ενέργειας \(E_{th}\) ενός ΗΜ κύματος συχνότητας \(f\) από τη θερμοκρασία.  Βλέπουμε ότι για θερμοκρασίες \(k_B T \gg hf\) η \(E_{th}\) τείνει στην κλασική πρόβλεψη \(E_{th}\to k_B T\). Από την άλλη για χαμηλές θερμοκρασίες \(k_B T \ll hf\) η \(E_{th}\) τείνει στο μηδέν όπως φαίνεται καθαρά στο μικρό ένθετο διάγραμμα.

 Όταν το κβάντο ενέργειας \(hf\) ενός ΗΜ κύματος είναι πολύ μικρότερο από την \(k_BT\) η κβάντωση πρακτικά δεν γίνεται αισθητή. Στην περίπτωση αυτή η θερμική διέγερση του κύματος γίνεται ανεμπόδιστα σαν το φάσμα του να είναι συνεχές (\(hf/k_BT \to 0\)) οπότε η \(E_{th}\) τείνει στην κλασική πρόβλεψη \(k_BT\), όπως φαίνεται στο παραπάνω διάγραμμα. Αυτός είναι και ο λόγος που στο όριο \(hf \ll k_B T \) η κλασική και η κβαντική πρόβλεψη για τη φασματική ένταση συμπίπτουν. 

Όταν όμως η ενέργεια των θερμικών διεγέρσεων \(k_BT\) είναι πολύ μικρότερη από το «σκαλοπάτι» ενέργειας \(hf\) η κβάντωση δεν επιτρέπει την θερμική διέγερση του ταλαντωτή οπότε \(E_{th}\to 0\). Αυτό φαίνεται καθαρά στο ένθετο γράφημα το οποίο παρουσιάζει τη συμπεριφορά της \(E_{th}\) για χαμηλές θερμοκρασίες. Ο μηδενισμός αυτός της μέσης θερμικής ενέργειας των ταλαντωτών υψηλής συχνότητας είναι που κάνει την φασματική ένταση \(J\) να μειώνεται για μεγάλες συχνότητες και προλαμβάνει την υπεριώδη καταστροφή. 

Παρεμπιπτόντως, τα συμπεράσματα στα οποία μας οδήγησε η παραπάνω ποσοτική μελέτη είναι σε πλήρη συμφωνία με αυτά της ποιοτικής μελέτης που κάναμε σε προηγούμενη ανάρτηση. Και στις δύο περιπτώσεις καταλήξαμε ότι η μόνη λύση για να μπορέσει η θεωρία να προβλέψει σωστά τη φασματική ένταση του μέλανος σώματος είναι το ενεργειακό φάσμα των ΗΜ κυμάτων να είναι κβαντισμένο.

¹ Ο Planck δεν γνώριζε, μεταξύ άλλων, για την ενέργεια μηδενικού σημείου \(hf/2\) οπότε ο όρος αυτός δεν υπήρχε στον υπολογισμό του.

² Για την εξαγωγή χρησιμοποιήσαμε τη σχέση \(\sum_{n \geq 0} x^n = 1/(1-x)\), (για \(x<1\)), όπου \(x=e^{-\beta h f}\).